2015年江西省三支一扶——数量关系（5.19）

集合计数题型及解题方法

集合计数问题是公务员行测考试中的常考问题，它的基础是集合。集合是一个基本的数学概念，关于它的一些知识大家可以参照前面数学知识里面的内容。集合计数问题一般会比较难，特别是其中的排列组合问题和概率问题，往往需要考生具备一定的抽象思维能力，可以通过针对性训练来提高。
集合计数问题包括容斥问题、抽屉问题、排列组合问题和概率问题等四类问题。
一、容斥问题
容斥问题是关于集合与集合之间运算关系的一类问题，从出题形式上看，它又分为两集合的容斥问题、三集合的容斥问题和多集合的容斥问题，其中前两类问题是相似的，需要考生掌握两集合与三集合的容斥原理，第三类问题有所不同，需要考生从反面来考虑问题。下面是考生必须掌握的容斥原理，我们用“文氏图”来理解：

两集合的关系很容易理解，关键是三集合的容斥原理，上面给出了两个关系。其中第二个图是标准的三集合容斥原理，别看式子很长，记住它即很容易，即“加奇减偶”的关系：奇数个集合的交（包括单个集合）前面是用加法，偶数个集合的交前面是用减法。其实，更多集合的标准容斥原理都是“加奇减偶”的关系；第三个图是没有重叠关系的容斥原理，所以式子更简单，D区域表示同时满足两个关系的集合，而E区域表示同时满足三个关系的集合，如A、B、C表示语文、数学、英语考试及格的人数，则D表示正好有两门考试及格的人数，E区域表示三门考试都及格的人数，显然，在A＋B＋C的过程中，D多加了一次，E多加了两次，那么多加了就应该减去，多加了几次就应该减去几次，前面的关系都可以这样来理解。
【例1】（2006年国考）
现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有（   ）。
A．27人                    B．25人 
C．19人                    D．10人
【一佳名师解析】此题答案为B。显然，总人数＝至少有一种实验做对的人数＋两种实验都做错的人数，设两种实验都做对的人数为X人，则由两集合容斥原理，至少有一种实验做对的人数为40＋31－X人，于是有40＋31－X＋4＝50，解得X＝25人，因此答案为B。
【变1】（2008年海南）
某班共有50名学生参加数学和外语两科考试，已知数学成绩及格的有40人，外语成绩及格的有25人，据此可知数学成绩及格而外语成绩不及格者（   ）。
A．至少有10人              B．至少有15人      
C．有20人                  D．至多有30人
【一佳名师解析】此题答案为B。这道题的考法比较灵活，考虑数学和外语及格人数的关系，结合文氏图，此题很容易解决，如下图所示：

上图中列出了三个移动的状态1、2、3，显然，在状态3的时候数学及格而外语不及格的人数达到最少，为40－25＝15人，因此答案为B。
    核心提示：建议考生通过文氏图来理解容斥原理，这样的话，即使在考试时忘记了容斥原理，考生也可以通过文氏图把题目做出来。
【例2】（2009年国考）
如下图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。问阴影部分的面积是多少？

A．15      B．16             C．14  D．18
【一佳名师解析】此题答案为B。本题的关系非常清楚，故考虑直接利用公式法。由于X∪Y∪Z＝X＋Y＋Z－X∩Y－X∩Z－Y∩Z＋X∩Y∩Z，于是X∩Y∩Z＝290－64－180－160＋24＋70＋36，尾数是6，因此答案为B。