公务员考试行测数量关系——体积问题
发布时间：2015-11-20 11:55:32 来源：一佳公务员考试网 点击量：
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体积问题一般是多面体、柱体、锥体和球体的体积求解问题，行测考试中大部分都集中在正多面体和柱体的体积求解。除了掌握它们的体积求解公式，考生还需要掌握一些一般性规律，这在下面的题目中体现。
【例1】（2012年国考）
连接正方体每个面的中心构成一个正八面体（如下图所示）。己知正方体的边长为6厘米，问正八面体的体积为多少立方厘米？
A．182 B．242
C．36 D．72
【一佳名师解析】此题答案为C。由于正八面体是由两个锥体构成的，于是我们可以先求出一个锥体的体积，如上半部分的锥体体积。显然，上半部分的锥体底面是一个正方形，其对角线是外面正方体的边长，即6厘米，那么底面积为6×
＝18平方厘米，而高只有外面正方体边长的一半，即3厘米，那么由锥体的体积计算公式，可以得到上半部分的体积为18×
＝18立方厘米，于是正八面体的体积是18×2＝36立方厘米，因此答案为C。
【变1】（2009年北京）
在一只底面半径是20cm的圆柱形小桶里，有一半径为10cm的圆柱形钢材浸没在水中，当钢材从桶中取出后，桶里的水下降了3cm。求这段钢材的长度（ ）。
A．3cm B．6cm
C．12cm D．18cm
【一佳名师解析】此题答案为C。由于钢材是“浸没”在水中，而前后水的体积是不变的，由题意知钢材的体积为π×202×3＝1200π，那么钢材的长度为
＝12cm，因此答案为C。
核心提示：所有的多面体都可以分解成锥体和柱体的组合，因此锥体和柱体的体积公式考生一定要非常熟悉。
【例2】（2011年浙江）
已知一个长方体的长、宽、高分别为10分米、8分米和6分米，先从它上面切下一个最大的正方体，然后再从剩下的部分上切下一个最大的正方体。问切除这两个正方体后，最后剩下部分的体积是多少？
A．212立方分米 B．200立方分米
C．194立方分米 D．186立方分米
【一佳名师解析】此题答案为B。由于在长方体上切最大的正方体依据的是长方体最短的那条边，因此第一个切去的正方体的边长为6分米，切下这个正方体后，剩下的长方体的三个边长分别变为4分米、8分米、6分米，那么切下的第二个正方体的边长为4分米，由于最后剩下的部分的体积等于原来长方体的体积减去切去的两个正方体的体积，即10×8×6－63－43＝200立方分米，因此答案为B。
【变2】（2004年国考）
一个边长为8的正立方体，由若干个边长为1的正立方体组成，现在要将大立方体表面涂漆，请问一共有多少个小立方体被涂上了颜色？
A．296 B．324
C．328 D．384
【一佳名师解析】此题答案为A。从表面上看，这道题与体积无关，但是仔细考虑一下，其实和上题有几分相似，上题中的关系是“整体体积＝切除体积＋剩下体积”，而此题中隐含了一个这样的关系：“所有小立方体个数＝被涂上颜色的小立方体个数＋没被涂上颜色的小立方体个数”，显然，所有小立方体的个数为83＝512个，而没被涂上颜色的小立方体个数为63＝216个，所以被涂上颜色的小立方体个数为512－216＝296个，因此答案为A。
核心提示：整体思维和互补思维在数学运算中经常用到，即在关系A＋B＝C中，如果问题是求A，但A由于各种原因很难直接求解，而B和C都比较容易求解，此时我们通过求B和C来间接得到A，通常C需要从整体上考虑。
【例3】（2008年国考）
相同表面积的四面体，六面体，正十二面体以及正二十面体，其中体积最大的是（ ）。
A．四面体 B．六面体
C．正十二面体 D．正二十面体
【一佳名师解析】此题答案为D。正多面体的极限是圆球，显然，球形物体对空间的利用率要比方形物体的要高（你可以想一下为什么水瓶或水壶很少有方形的，可不仅仅是为了美观），故在表面积相同的情况下越接近圆球的正多面体其体积就越大，因此答案为D。
【变3】相同体积的四面体，六面体，正十二面体以及正二十面体，其中表面积最大的是（ ）。
A．四面体 B．六面体
C．正十二面体 D．正二十面体
【一佳名师解析】此题答案为A。由于“在表面积相同的情况下越接近于球的多面体的体积越大”，那么反过来，“在体积相同的情况下越不接近于球的表面积越大”，这其实就是一个规律用两句不同的话说出来而已，所以这种逆向的思维考生也一定要好好掌握，因此答案为A。
核心提示：在几何问题中，有一个规律考生一定要清楚：1、在所有平面图形中，当周长相同的情况下圆的面积最大；2、在所有立体图形中，当表面积相同的情况下球的体积最大。
【例1】（2012年国考）
连接正方体每个面的中心构成一个正八面体（如下图所示）。己知正方体的边长为6厘米，问正八面体的体积为多少立方厘米？
A．182 B．242
C．36 D．72
【一佳名师解析】此题答案为C。由于正八面体是由两个锥体构成的，于是我们可以先求出一个锥体的体积，如上半部分的锥体体积。显然，上半部分的锥体底面是一个正方形，其对角线是外面正方体的边长，即6厘米，那么底面积为6×
＝18平方厘米，而高只有外面正方体边长的一半，即3厘米，那么由锥体的体积计算公式，可以得到上半部分的体积为18×＝18立方厘米，于是正八面体的体积是18×2＝36立方厘米，因此答案为C。【变1】（2009年北京）
在一只底面半径是20cm的圆柱形小桶里，有一半径为10cm的圆柱形钢材浸没在水中，当钢材从桶中取出后，桶里的水下降了3cm。求这段钢材的长度（ ）。
A．3cm B．6cm
C．12cm D．18cm
【一佳名师解析】此题答案为C。由于钢材是“浸没”在水中，而前后水的体积是不变的，由题意知钢材的体积为π×202×3＝1200π，那么钢材的长度为
＝12cm，因此答案为C。核心提示：所有的多面体都可以分解成锥体和柱体的组合，因此锥体和柱体的体积公式考生一定要非常熟悉。
【例2】（2011年浙江）
已知一个长方体的长、宽、高分别为10分米、8分米和6分米，先从它上面切下一个最大的正方体，然后再从剩下的部分上切下一个最大的正方体。问切除这两个正方体后，最后剩下部分的体积是多少？
A．212立方分米 B．200立方分米
C．194立方分米 D．186立方分米
【一佳名师解析】此题答案为B。由于在长方体上切最大的正方体依据的是长方体最短的那条边，因此第一个切去的正方体的边长为6分米，切下这个正方体后，剩下的长方体的三个边长分别变为4分米、8分米、6分米，那么切下的第二个正方体的边长为4分米，由于最后剩下的部分的体积等于原来长方体的体积减去切去的两个正方体的体积，即10×8×6－63－43＝200立方分米，因此答案为B。
【变2】（2004年国考）
一个边长为8的正立方体，由若干个边长为1的正立方体组成，现在要将大立方体表面涂漆，请问一共有多少个小立方体被涂上了颜色？
A．296 B．324
C．328 D．384
【一佳名师解析】此题答案为A。从表面上看，这道题与体积无关，但是仔细考虑一下，其实和上题有几分相似，上题中的关系是“整体体积＝切除体积＋剩下体积”，而此题中隐含了一个这样的关系：“所有小立方体个数＝被涂上颜色的小立方体个数＋没被涂上颜色的小立方体个数”，显然，所有小立方体的个数为83＝512个，而没被涂上颜色的小立方体个数为63＝216个，所以被涂上颜色的小立方体个数为512－216＝296个，因此答案为A。
核心提示：整体思维和互补思维在数学运算中经常用到，即在关系A＋B＝C中，如果问题是求A，但A由于各种原因很难直接求解，而B和C都比较容易求解，此时我们通过求B和C来间接得到A，通常C需要从整体上考虑。
【例3】（2008年国考）
相同表面积的四面体，六面体，正十二面体以及正二十面体，其中体积最大的是（ ）。
A．四面体 B．六面体
C．正十二面体 D．正二十面体
【一佳名师解析】此题答案为D。正多面体的极限是圆球，显然，球形物体对空间的利用率要比方形物体的要高（你可以想一下为什么水瓶或水壶很少有方形的，可不仅仅是为了美观），故在表面积相同的情况下越接近圆球的正多面体其体积就越大，因此答案为D。
【变3】相同体积的四面体，六面体，正十二面体以及正二十面体，其中表面积最大的是（ ）。
A．四面体 B．六面体
C．正十二面体 D．正二十面体
【一佳名师解析】此题答案为A。由于“在表面积相同的情况下越接近于球的多面体的体积越大”，那么反过来，“在体积相同的情况下越不接近于球的表面积越大”，这其实就是一个规律用两句不同的话说出来而已，所以这种逆向的思维考生也一定要好好掌握，因此答案为A。
核心提示：在几何问题中，有一个规律考生一定要清楚：1、在所有平面图形中，当周长相同的情况下圆的面积最大；2、在所有立体图形中，当表面积相同的情况下球的体积最大。
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